Bonjour,
Partie A
1) 1/2 * (x - 4)² + 24
= 1/2 * (x² - 8x + 16) + 24
= x²/2 - 4x + 32
= f(x)
2) pour tout x réel, (x - 4)² ≥ 0
⇒ 1/2 * (x - 4)² ≥ 0
⇒ 1/2 * (x - 4)² + 24 ≥ 24
⇔ ff(x) ≥ 24
Donc f admet un minimum en x = 4 et f(4) = 24
3)
x -∞ 4 +∞
f(x) décroissante 24 croissante
4) f(x) = 24
⇔ 1/2 * (x - 4)² + 24 = 24
⇔ 1/2 * (x - 4)² = 0
⇔ (x - 4)² = 0
⇔ x - 4 = 0
⇔ x = 4
Partie B
1) x = AM, M ∈ [AB] et AB = 8 cm donc : 0 ≤ x ≤ 8
2) faire une figure...
Aire(ABCD) = 8x8 = 64
Aire(AMN) = (AM x AN) /2 = x*(8 - x)/2
Aire(NCD) = (ND x CD)/2 = x * 8/2 = 4x
Aire(MBC) = (MB x BC)/2 = (8 - x)*8/2 = 4(8 - x)
Donc Aire(CMN) = AIre(ABCD) - Aire(AMN) - Aire(NCD) - Aire(MBC)
= 64 - x(8 - x)/2 - 4x - 4(8 - x)
= 64 - 4x + x²/2 - 4x - 32 + 4x
= x²/2 - 4x + 32
3)
a) Aire(CMN) = f(x) donc décroissante pour x ∈ [0;4] puis croissante pour x ∈ [4;8]
b) AIre(CMN) = AIre(ABCD)/3
⇔ f(x) = 64/3
impossible car 64/3 ≈ 21,3 or f a un minimum de 24
c) f(x) = 24
⇔ x = 4 d'après la partie A
Donc, dans ce cas, AM = 4 cm
