Bonsoir,
On considère la fonction g(x) = 2x² + 4x - 6
1) montrer que :
g(x) = 2(x² + 2x - 3)
g(x) = 2(x² + 2 × x × 1 + 1² - 4)
g(x) = 2(x + 1)² + 2 × (-4)
g(x) = 2(x + 1)² - 8
g(x) = 2[(x + 1)² - 4]
g(x) = 2[(x + 1)² - 2²]
g(x) = 2(x + 1 - 2)(x + 1 + 2)
g(x) = 2(x - 1)(x + 3)
2) résoudre :
g(x) ≥ 0
2(x - 1)(x + 3) ≥ 0
x - 1 = 0
x = 1
x + 3 = 0
x = (-3)
x.........|.-∞...........(-3)............1...........+∞
x-1......|...........(-)................(-)........O.......(+)............
x+3....|...........(-)............O.....(+).............(+)............
g(x)....|...........(+)...........O....(-).....O.......(+)............
g(x) ≥ 0 pour x ∈ ]-∞ ; -3] U [1 ; +∞ [
g(x) = 10
2(x + 1)² - 8 = 10
2(x + 1)² - 8 - 10 = 0
2(x + 1)² - 18 = 0
2[(x + 1)² - 9] = 0
2[(x + 1)² - 3²] = 0
2(x + 1 - 3)(x + 1 + 3) = 0
2(x - 2)(x + 4) = 0
Un produit de facteur est nul si au moins un de ses facteurs est nul :
x - 2 = 0 ou x + 4 = 0
x = 2 ou x = (-4)
3) variation de la fonction g :
g(x) = 2x² + 4x - 6
g’(x) = 4x + 4 = 4(x + 1)
x + 1 = 0
x = -1
g(-1) = 2 × (-1)² + 4 × (-1) - 6
g(-1) = 2 - 4 - 6
g(-1) = -8
x...............|.-∞..............(-1)................+∞
g’(x)..........|..............(-)...........O.......(+).................
g(x)...........|.décroissante (-8) croissante
