Bonjour :)
1. Je te laisse regarder la capture d'écran GeoGebra en pièce jointe, il faut en gros que [tex]\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{BD}[/tex].
2. Les deux quadrilatères sont des parallélogrammes (relation de Chasles)
3. [tex]I[/tex] est le milieu de [tex][AB][/tex], et comme les vecteurs [tex]\overrightarrow{AC}[/tex], [tex]\overrightarrow{IM}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BD}[/tex] sont égaux, le segment [tex][CD][/tex] est simplement une translation de [tex][AB][/tex] par le vecteur [tex]\overrightarrow{IM}[/tex], et donc le point M reste le milieu de [tex][CD][/tex].
(Si tu as une partie de ton cours qui te permet de le prouver plus simplement n'hésite pas, certains professeurs n'aiment pas quand on utilise une preuve qui ne fait pas partie de leur cours...)
4. Comme I est le milieu de [tex][AB][/tex], on a [tex]\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{BI}[/tex]. De plus, on sait déjà que [tex]\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{IM}[/tex]. Ainsi :
[tex]\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{BM}[/tex].
5. (a) On a par exemple [tex]\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{ME} = - \overrightarrow{EM}[/tex], ou aussi [tex]\overrightarrow{IE} = 2 \overrightarrow{IM}[/tex].
(b) [tex]\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{MD}[/tex]
De plus, comme M est le milieu de [tex][CD][/tex] (question 3), on a :
[tex]\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}[/tex].
On peut donc reprendre l'égalité précédente :
[tex]\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}[/tex]
[tex]= \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{MD}[/tex]
[tex]= \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{0}[/tex]
[tex]= 2 \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{IE}[/tex]
(cf (a) pour la dernière égalité).
Bonne journée :) !
