Bonjour,
Soit la fonction f telle que: f(x)=(Sx-πx³)/2
Pour étudier f, nous allons calculer sa dérivée f' et en étudier le signe donc:
f'(x)=[(Sx-πx³)/2]'
f'(x)=(1/2)(S-3πx²)
Sachant que l'on parle de volume, nous allons étudier ce signe sur [0;+∞[:
f'(x)=0
(1/2)(S-3πx²)=0
S-3πx²=0
3πx²=S
x=√(S/3π)
On en déduit qu'il existe en ce point un extrémum de la fonction f.
f'(x)≥0
(1/2)(S-3πx²)≥0
x²≤S/3π
x≤√(S/3π) sur [0;+∞[
On déduit donc que f est croissante sur [0;√(S/3π)]
f'(x)≤0
(1/2)(S-3πx²)≤0
S≤3πx²
x≥√(S/3π) sur [0;+∞[
On déduit que f est décroissante sur [√(S/3π);+∞[
On remarque alors que la dérivée f' change de signe en passant du positif au négatif en x=√(S/3π) donc le point de cette abscisse est le maximum de f.
