Bonjour,
1) voir ci-joint
on place u0 = -4
on reporte u1 = f(u0) = -1
en utilisant la droite y = x, on reporte -1 et on obtient u2 = f(u1)
etc...
2) u0 = -4
u1 = -1
u2 = 0
u3 = 1/2
u4 = 4/5
3) vn = 1/(un - 2)
v0 = 1/(-4-2) = -1/6
v1 = 1/(-1-2) = -1/3
v2 = 1/(0 - 2) = -1/2
v3 = 1/(1/2 - 2) = -2/3
b) On peut conjecturer que (Vn) est une suite arithmétique de raison r = -1/6 et de premier terme v0 = -1/6
Vn+1 = 1/(Un+1 - 2) = 1/(f(Un) - 2)
f(Un) - 2 = (4Un + 4)/(-Un + 8) - 2
= (4Un + 4 + 2Un - 16)/(-Un + 8)
= (6Un - 12)/(-Un + 8)
= 6(Un - 2)/(-Un + 8)
⇒ Vn+1 = 1/(f(Un) - 2) = (-Un + 8)/6(Un - 2)
Or Vn = 1/(Un - 2) ⇒ Un = 1/Vn + 2 = (1 + 2Vn)/Vn
⇒ - Un + 8 = -(1 + 2Vn)/Vn + 8 = (-1 - 2Vn + 8Vn)/Vn = (6Vn - 1)/Vn
et 6(Un - 2) = 6Vn
Donc Vn+1 = [(6Vn - 1)/Vn]/6Vn = (6Vn - 1)/6 = Vn - 1/6
⇒ (Vn) est bien une suite arithmétique de raison r = -1/6 et de premier terme v0 = -1/6
Soit Vn = -1/6 - n/6 = -(n + 1)/6
et Un = [1 - 2(n + 1)/6]/[-(n + 1)/6] = (6 - 2n - 2)/-(n + 1) = (2n - 4)/(n + 1)
