soit la fonction f définie sur R par : f (x) = - x² + 6 x + 7
1) Montrer que pour tout x ∈ R
f (x) = (7 - x)(x + 1)
f (x) = - x² + 6 x + 7 = 0
Δ = 36 + 28 = 64 ⇒ √64 = 8
x1 = (- 6 + 8)/- 2 = 2/-2 = - 1
x2 = (- 6 - 8)/- 2 = - 14/- 2 = 7
on peut écrire f (x) = a(x - x1)(x - x2) = - 1(x - 7)(x + 1) = - (-)(7 - x)(x + 1)
⇒ donc f (x) = (7 - x)(x + 1)
f (x) = 16 - (x - 3)² forme canonique
la forme générale est : f (x) = β + a(x - α)²
α = - b/2a = - 6/- 2 = 3
β = f (α) = f (3) = - (3)² + 6(3) + 7 = - 9 + 18 + 7 = 16
f (x) = 16 - (x - 3)²
2) choisir la forme la mieux adaptée
a) déterminer l'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des ordonnées
f (0) = - (0)² + 6(0) + 7 = 7 (0 ; 7)
b) déterminer l'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses
f (x) = 0 = (7 - x)(x + 1) ⇒ 7 - x = 0 ⇒ x = 7 ; x + 1 = 0 ⇒ x = - 1
(7 ; 0) et (- 1 ; 0)
c) déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole
A partir de f(x) = 16 - (x - 3)² forme canonique, on peut déterminer le sommet S de la parabole qui est S(3 ; 16)
d) déterminer les variations de la fonction f
x - ∞ 3 + ∞
f (x) - ∞→→→→→→→ 16 →→→→→→ - ∞
croissante décroissante
