Exercice 7 :
1) Graphiquement, f(x) = 7 admet 2 solutions 0 et 5. S = {0 ; 5}
2) Je résous l'équation f(x) = 7 :
-x²+5x+7 = 7
-x²+5x = 0
x(-x+5) = 0
soit
x = 0
soit
-x+5 = 0
-x = -5
x = 5
L'équation admet donc le couple de solutions S = {0 ; 5}.
Exercice 8 :
1) Graphiquement, f(x) = g(x) admet une solution en x = 0,4.
2) Je résous l'équation f(x) = g(x)
-x²+4x+1 = -x²-x+3
4x+1 = -x+3
5x = 2
x = 2/5
x = 0,4
L'équation admet une solution pour x = 0,4.
Exercice 9 :
1) Afin de pouvoir dresser le tableau de variations de la fonction f, je dois étudier le signe de la fonction dérivée de cette dernière.
f(x) = x²-6x+7
f'(x) = 2x-6
Afin d'étudier le signe de la fonction f', je résous l'inéquation f'(x) > 0
2x-6 > 0
2x > 6
x > 3
Je sais donc que f' est négative sur l'intervalle ]-∞ ; 3] puis positive sur l'intervalle ]3 ; +∞[. Nous étudions l'intervalle [0 ; 6], alors je peux dire que f' est négative sur l'intervalle [0 ; 3] puis positive sur l'intervalle ]3 ; 6].
On sait que lorsqu'une fonction dérivée est négative, la fonction de référence est décroissante et inversement. Je peux alors dresser le tableau de variations de la fonction f.
Pour dresser le tableau, il me faut également les valeurs f et f' pour x = 0, = 3 et x = 6
f(0) = 7
f(3) = 3²-3*6+7
f(3) = -2
f(6) = 6²-6*6+7
f(6) = 7
f'(0) = -6
f'(3) = 0
f'(6) = 6
(Tableau de variations en pièce jointe)
2) (x-3)²-2 = x²+2*x*(-3)+(-3)²-2
⇔ x²-6x+9-2
⇔ x²-6x+7
L'expression est donc vérifiée et est correcte.
3) Je résous l'équation f(x) = 0
(x-3)²-2 = 0
(x-3)² = 2
x-3 = √(2)
x = √(2)+3
et
x = -√(2)+3 (car le carré d'un nombre est toujours positif, il faut alors toujours prendre sa racine et son opposé)
