Bonsoir,Je vais commencer par la démonstration de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
Soit la suite géométrique u(n) avec n∈N, u(0) sont 1er terme et q sa raison telle que:
u(n)=u(0)qⁿ
Sa somme S(n) est donnée par:
S(n)=u(0)+u(1)+...+u(n-1)+u(n)
On remplace alors les terme par leur expression en fonction de u(0), n et q donc:
S(n)=u(0)+u(0)q+...+u(0)qⁿ⁻¹+u(0)qⁿ
On peut mettre alors u(0) en facteur donc:
S(n)=u(0)(1+q+....+qⁿ⁻¹+q)
S(n)=u(0)(1-q)(1+q+...+qⁿ⁻¹+qⁿ)/(1-q)
S(n)=u(0)(1+q+...+qⁿ⁺¹+q-q-q²...-qⁿ-qⁿ⁺¹)/(1-q)
On a alors dans la sommation bcp de terme qui s'annule donc:
S(n)=u(0)(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)----->CQFD
On passe maintenant à la démonstration pour les suites arithmétique.
Soit la suite arithmétique u(n) de 1er terme u(0) et de raison r telle que:
u(n)=u(0)+nr
La somme S(n) des n termes de cette suite est:
S(n)=u(0)+u(1)+...+u(n-1)+u(n)
S(n)=u(0)+(u(0)+r)+...+(u(0)+(n-1)r)+(u(0)+nr)
S(n)=(n+1)u(0)+(r+2r+...+(n-1)r+nr)
S(n)=(n+1)u(0)+r(1+2+...+(n-1)+n)
S(n)=(n+1)u(0)+rn(n+1)/2 (somme des entiers naturels)
S(n)=(n+1)(u(0)+rn/2)
S(n)=(n+1)(2u(0)+nr)/2
S(n)=(n+1)(u(0)+u(0)+nr)/2
S(n)=(n+1)(u(0)+u(n))/2----->CQFD
