1) AG=(2/3)AB
AG=(2/3)(AG+GB)
AG=(2/3)AG+(2/3)GB
(1/3)AG=(2/3)GB
AG=2GB
GA=-2GB
GA+2GB=0 ----->CQFD
2) 2HB+3HC=0
2HB+3(HB+BC)=0
2HB+3HB+3BC=0
5HB+3BC=0
5HB=-3BC
5BH=3BC
BH=(5/3)BC----->CQFD
3) KA+3KC=0
KA+3(KA+AC)=0
KA+3KA+3AC=0
4KA+3AC=0
4KA=-3AC
AK=(3/4)AC
4)a) LA+2LB+3LC=0
LA+2(LA+AB)+3(LA+AC)=0
LA+2LA+2AB+3LA+3AC=0
6LA+2AB+3AC=0
6AL=2AB+3AC
AL=(1/3)AB+(1/2)AC---->CQFD
b) AL=(1/3)AB+(1/2)AC
AL=(1/3)(3/2)AG+(1/2)AC
AL=(1/2)AG+(1/2)AC
AC+CL=(1/2)AG+(1/2)AC
CL=(1/2)AG+(1/2)CA
CL=(1/2)(CA+AG)
CL=(1/2)CG---->CQFD
L est donc le milieu de [CG]
5) AL=(1/3)AB+(1/2)AC
AL=(1/3)AH+(1/3)HB+(1/2)AH+(1/2)HC
AL=(1/3)AH+(1/2)AH+(1/3)HB+(1/2)(-2/3)HB
AL=(1/3+1/2)AH
AL=(5/6)AH--->CQFD
Les points L A et H sont alignés.
6) AL=(1/3)AB+(1/2)AC
AK+KL=(1/3)AK+(1/3)KB+(1/2)AK+(1/2)KC
AK+KL=(5/6)AK+(1/3)KB+(1/2)(-1/3)KA
AK+KL=AK+(1/3)KB
KL=(1/3)KB---->CQFD
L appartient donc à (KB)
7) On constate via 4) 5) et 6) que L est sur les droites (GC), (AH) et (KB). On en déduist alors que ces 3 droites sont concourantes en L.
