Pour étudier les variations d'une fonction, il suffit de calculer la fonction dérivée de cette dernière puis d'étudier le signe de cette fonction dérivée. Si la fonction dérivée est négative sur un certain intervalle, alors la fonction de référence sera décroissante, et inversement.
1) f(x) = -7x³+3x²+1x+4
On sait que la dérivée de x^n est n*x^(n-1) et que la dérivée d'une constante est 0.
f'(x) = 3*(-7x)^(3-1)+2*3x^(2-1)+1*1x^(1-1)-0
f'(x) = -21x²+6x+1
Pour connaître le signe de la fonction f', il me suffit de résoudre l'équation f'(x) = 0
-21x²+6x+1 = 0
Pour résoudre une équation du second degré, il me suffit de calculer le discriminant Δ = b²-4ac
Δ = 6²-4*(-21)*1
Δ = 36+84
Δ = 120
Si Δ > 0, on sait que l'équation admet deux solutions :
x1 = (-b+√Δ)/2a et x2 = (-b-√Δ)/2a
x1 = (-6+√120)/(2*(-7))
x1 = (-6+√120)/(-14)
x2 = (-6-√120)/(2*(-7))
x2 = (-6-√120)/(-14)
De plus, on sait que dans un polynôme du second degré de la forme ax+bx+c, si le coefficient a est inférieur à 0, cela veut dire que la fonction est croissante puis décroissante en admettant un maximum. On peut donc dire que la f' est négative, puis positive, puis négative à nouveau.
On peut donc en conclure que la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-∞ ; (-6+√120)/(-14)[, croissante sur l'intervalle [(-6+√120)/(-14) ; (-6-√120)/(-14)] puis décroissante sur l'intervalle ](-6-√120)/(-14) ; +∞[
2) Grâce à cette méthode précédemment expliquée, tu peux dériver la suivante.
