Bonjour,
1) Nous allons considérer le triangle AOB rectangle en O donc par Pythagore, nous pouvons écrire que:
AB²=AO²+OB² avec AO=OB=a donc
AB²=a²+a²
AB²=2a²
AB=a√2
Comme ABC est un triangle équilatéral donc AB=BC=AC=a√2
2) Le volume d'un tétraèdre est donné par:
V=(1/3)×B×H
B est l'aire de la base et H la hauteur par rapport à cette base
On considère que la base est le triangle AB rectangle et isocèle en O donc:
V=(1/3)×(a²/2)×a
V=a³/3
3) Comme H est la hauteur issus de O du triangle rectangle isocèle OCB donc (OH)⊥(BC) donc OHB est un triangle rectangle en H. De plus, on sait que H milieu de [BC] donc [BH]=a/2. On va appliquer le théorème de Pythagore à ce triangle donc:
OB²=OH²+BH²
OH²=OB²-BH²
OH=√(OB²-BH²) avec OB=a et BH=a/2
OH=√(a²-(a√2/2)²)
OH=√(a²-a²/2)
OH=√(a²/2)
OH=a√(1/2)
OH=(a/2)√2
On se place ensuite dans le triangle AOH rectangle en O donc par Pythagore:
AH²=AO²+OH²
AH=√(AO²+OH²)
AH=√(a²+((a√2)/2)²)
AH=√(a²+2a²/4)
AH=√(6a²/4)
AH=a(√6)/2----->CQFD
4) L'aire du triangle équilatéral ABC est donnée par:
A(ABC)=(B×h)/2
A(ABC)=[AB]×[AH]/2
A(ABC)=[(a√2)×(a√6)/2]/2
A(ABC)=(a²√12)/4
A(ABC)=2a²√3/4
A(ABC)=(a²√3)/2
5) Comme le volume du tétraèdre OABC est:
V(OABC)=(1/3)×A(ABC)×H
H=3V(ABC)/(A(ABC))
H=3×(a³/3)/((a²√3)/2)
H=a³/((a²√3)/2)
H=2a³/(a²√3)
H=2a/√3
H=(2√3a)/3
