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résolu

Bonjour j'ai besoin d'aide pour m'expliquer cet exercice

Soit la fonction g définie sur [–3 ; 3] par g (x ) =1/9x^3 − 1/3x +1

1. a. Sur votre calculatrice ou un tableur, tracer la courbe de la fonction g et conjecturer son tableau de variation.

b. Déterminer graphiquement les solutions de l’équation g (x ) = 0 (on arrondira les solutions au dixième) et en déduire le signe de la fonction g sur [–3 ; 3].

c. Déterminer graphiquement des valeurs, arrondis au dixième, des antécédents par g de 1.

2. a. Montrer que g '(x ) = 1/3x²-1/3 1 et en déduire les solutions de l’équation g '(x ) = 0.

b. Déterminer le signe de g ’ sur [–3 ; 3], calculer les valeurs exactes de g (1), g (3), g (–3) et g (–1) puis en déduire le tableau de variation de la fonction g.

c. Déterminer l’équation de la tangente D à la courbe représentant la fonction g au point d’abscisse 0.

Je vous en remercie d'avance

Répondre :

salut
1) a)  graphiquement
g(x) est croissante de [ -3 ; -1]
g(x) est décroissante de [ -1 ; 1 ]
g(x) est croissante de [ 1 ; 3 ]

tableau
x             - 3                -1                  1                    3
                                                                        3
g(x)                   /                  \                       /
                    -1   

b) graphiquement g(x) = 0 possède 1 solution  x= -2.5
signe de g
x               -3                 -2.5                     3
g(x)                    -            0            +

c) graphiquement g possède 3 antécédents de g par 1 qui sont
x= -1.7   et       x=0   et       x= 1.73         

2) a) g '(x)= (3/9)x²-1/3
                = (1/3)x²-1/3

g '(x)=0
delta= 4/9    delta >0  deux solutions alpha= -1   et beta= 1

b) tableau de variations
x                  -3                  -1                  1                3
g'(x)                      +           0         -         0      +
                                     11/9                                  3
g(x)                      /                        \                  /
                     -1                                      7/9

c) équation de la tangente au point d'abscisse 0
g(0)= 1     et      g '(0)= -1/3       
=> (-1/3)(x-0)+1
l'équation de la tangente est 
=> y= (-1/3)x+1
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