Bonjour ;
1)
Calculons tout d'abord : AB² , AC² et BC² .
AB² = (- 1 - 3)² + (0 - (- 2))² = (- 4)² + 2² = 16 + 4 = 20 .
AC² = (- 1 - 1)² + (0 - 4)² = (- 2)² + (- 4)² = 4 + 16 = 20 .
BC² = (3 - 1)² + (- 2 - 4)² = 2² + (- 6)² = 4 + 36 = 40 .
Conclusion :
On a : AB² = AC² = 20 , donc le triangle ABC est isocèle en A .
On a aussi : AB² + AC² = 20 + 20 = 40 = BC² , donc en appliquant la réciproque du théorème de Pythagore , le triangle ABC est rectangle en A .
En somme le triangle ABC est rectangle isocèle en A .
2)
Le cercle C est circonscrit au triangle ABC qui est rectangle en A , donc son centre I est le milieu du segment [BC] de coordonnées comme suit :
(3 + 1)/2 = 4/2 = 2 et (- 2 + 4)/2 = 2/2 = 1 .
3)
On a : BC² = 40 ; donc : BC = √(40) = 2√(10) avec BC un diamètre de C ;
donc : IB = BC/2 = √(10) avec IB un rayon de C .
Calculons maintenant ID :
ID² = (2 - 3)² + (1 - 4)² = (- 1)² + (- 3)² = 1 + 9 = 10 ; donc : ID = √(10) ;
donc D appartient à C .
