Bonsoir,
Nous sommes ici en présence d'une loi binomiale.
Avec X la variable aléatoire qui compte le nombre de "gagné".
Cette expérience est répétée 4 fois de façon identique et indépendante, avec une probabilité p qui est inconnue.
Les paramètres de cette loi binomiales sont alors : [tex]\mathcal{B}(4,p)[/tex]
Nous savons que : [tex]p(X=2)=0.3456[/tex]
Rappel de formule : [tex]\displaystyle{p\left(X=k\right)=\dbinom{n}{k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}}[/tex]
Autrement dit : [tex]\displaystyle{\forall k\in \left\{0;1;...;4\right\}, p\left(X=k\right)=\dbinom{4}{k}p^{k}\left(1-p\right)^{4-k}}[/tex]
Nous devons alors résoudre :
[tex]\displaystyle{ p\left(X=2\right)=\dbinom{4}{2}p^{2}\left(1-p\right)^{4-2}}=0.3456[/tex]
D'après la calculatrice : [tex]\dbinom{4}{2}=6[/tex]
(4 Combinaison 2)
Nous en sommes donc à la résolution :
[tex]6p^2(1-p)^2=0.3456\\\\\sqrt{6p^2(1-p)^2}=\sqrt{0.3456}\\\\\sqrt{p^2}\sqrt{(1-p)^2}\sqrt{6}=\sqrt{0.3456}\\\\p(1-p)\sqrt{6}=\sqrt{0.3456}\\\\\sqrt{6p}-\sqrt{6p^2}=\sqrt{0.3456}\\\\-\sqrt{6p^2}+\sqrt{6p}-\sqrt{0.3456}=0[/tex]
Équation du second degré, rien de bien compliqué !
[tex]\Delta=b^2-4ac=(\sqrt{6})^2-4(-\sqrt{6})(-\sqrt{0.3456})=0.24\\\\x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x_{1,2}=\dfrac{-\sqrt{6}\pm\sqrt{0.24}}{-2\sqrt{6}}\\\\x_{1,2}=0.6,0.4\\\\S=\left\{0.4,0.6\right\}[/tex]
Les deux valeurs possibles pour [tex]p[/tex] sont donc 0.4 et 0.6 !
Je te laisse le soin de vérifier les résultats à la calculatrice.
