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résolu

Bonjour à tous, pourriez vous m'aider pour un petit exercice sur les suites s'il vous plaît ?

Énoncé:

La suite Un est définie par U0= 2 et pour tout n appartenant à N, Un+1 = 3Un + 5

1) La suite est elle arithmétique ou géométrique?

2) Pour tout n€ N on pose Vn= Un + 5/2
a) montrer que Vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b) pour tout entier naturel n, exprimer Un, puis Vn en fonction de n.

J'ai fait la 1) donc je calcul les premiers termes, la suite n'est ni géo ni arithmétique. Pour les suivantes je ne comprends pas.

Merci

Répondre :

FERRARIROUGEVIZ
Bonjour,
1) en fait la suite est à la dois arithmétique et géométrique : cela s'appelle tout simplement une suite arithmético-géométrique (de la forme U(n+1) = a * Un +b) ).

2) Vn = Un + 5/2
2)a) Donc V(n+1) = U(n+1) + 5/2 = 3*Un + 5 +5/2 = 3*Un + 15/2 = 3 * (Un + 5/2) = 3*Vn
Donc la suite (Vn) est géométrique de raison 3.

2)b) (Vn) est géométrique, d'après une formule on a donc Vn = Vo + 3^n.
Or Un = Vn - 5/2 = V0 + 3^n - 5/2.
Il existe en réalité une manière de calculer Un en fonction de n sans passer par Vn mais vu que vous ne connaissez pas les suites arithmético-géométriques (au programme de post-bac 1 ère année), je vous montre la manière de contourner (en utilisant Vn que vous connaissez).

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