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résolu

Bonjour,
J'ai un exercice à faire qui n'est sois-disant pas trop dur mais après 1H30 de recherches je commence à désespéré.
Voici l'énoncé : Soit la suite (Un) définie sur N par u0=1 et, pour tout entier naturel n,
un+1=un+2n+3
Démontrer que, pour tout entier naturel n, un=(n+1)²

Voilà, en espérant un peu d'aide.
Cordialement,

Répondre :

MICHAELSVIZ

Bonjour,


Procédons par récurrence :


Initialisation : U0 = (0+1)² = 1 OK


Hérédité : On suppose que Un = (n+1)² et on montre que [tex] U_{n+1}=((n+1)+1)^2=(n+2)^2 [/tex]


[tex]U_{n+1} =U_n+2n+3\\U_{n+1} =(n+1)^2+2n+3\\U_{n+1} =(n^2+2n+1)+2n+3\\U_{n+1} = n^2+4n+4\\\boxed{U_{n+1} = (n+2)^2}[/tex]


Conclusion : D'après l'axiome de récurrence nous avons que pour tout entier naturel n, Un = (n+1)²


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