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résolu

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour ce sujet je ne comprend vraiment pas la démarche à suivre:

Une entreprise fabrique des toboggans.
Elle reçoit la commande d'une municipalité pour construire un toboggan respectant les contraintes suivantes :
•le toboggan ne doit pas présenter d'angle;
• le départ se fait à une altitude de 2m;
• la longueur «hors tout» est de 6m;
• au départ et à l'arrivée le toboggan doit être horizontal.

L'entreprise est chargée de trouver une solution dont le profil sera donné par la courbe d'une fonction f.

Partie A
1. Choisir un repère orthonormé et donner les coordonnées de A et B dans ce repère. Réponse : A(0,2) B(6,0)

2. La première des contraintes que doit respecter le toboggan peut se traduire par : « f est dérivable sur son domaine de définition ». On notera alors f ′ sa fonction dérivée.
Traduire les autres contraintes à l'aide de f et de f ′.

3. Pour des raisons techniques, l'entreprise ne peut fabriquer que des toboggans dont le profil vérifie une équation du type y = ax3 +bx2 +cx +d.
(a) La première contrainte est-elle vérifiée?
(b) Déterminer les valeurs de a,b,c et d pour que toutes les contraintes soient verifiées.

PartieB

Dans un repère orthonormé, on appelle pente du toboggan la fonction g(x) = |f' (x)| où f est la fonction décrivant le profil du toboggan.

1. Déterminer l'expression de g(x)sans valeurs absolues.

2. L'entreprise décide d'installer une barre de renfort verticale là où la pente est maximale.
(a) Déterminer en quel(s) point(s) la pente est maximale.
(b) En déduire la position et la taille de la barre de renfort.

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
2°) la dérivée f ' (x) doit être nulle pour x = 0 et pour x = 6 .       On doit avoir aussi f(0) = 2 ET f(6) = 0.      

3°) f ' (x) = 3ax² + 2bx + c ; nulle pour x = 0 --> c = 0 ;               nulle pour x = 6 --> 108a + 12b = 0 --> 9a + b = 0 --> b = -9a .     Donc f(x) = ax³ - 9ax² + d --> f(0) = d = 2 --> d = 2 .              f(x) = ax³ - 9ax² + 2 --> f(6) = 216a - 324a + 2 = 0 --> -108a + 2 = 0                                                                      --> a = 2/108 = 1/54 ≈ 0,01852 .     conclusion : f(x) = (1/54)x³ - (1/6)x² + 2                         f ' (x) = (1/18)x² - (1/3) x = (x/3) [ (x/6) - 1 ] .
partie B :
1°) g(x) = (x/3) [ 1 - (x/6) ] puisque 0 ≤ x ≤ 6
2a) la pente sera MAXI pour g ' (x) nulle --> pour 1/3 - x/9 = 0 --> x = 3 .2b) la barre de renfort sera placée à "mi-parcours" du toboggan,            pour x = 3 --> f(3) = 0,5 - 1,5 + 2 = 1 mètre d' "altitude" .                La longueur de la barre de renfort sera donc d' 1 mètre                         si elle est bien strictement verticale ! .

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