Bonjour,
Une horloge peut être assimilée à un disque.
Un disque est un angle de 360°
Quand l'aiguille des heures effectue un tour complet, cela veut dire que 12 heures se sont écoulées.
Quant à l'aiguille des minutes, c'est simplement 1 heure.
Calculons donc les vitesses angulaires des aiguilles :
Heures : [tex]\omega=\dfrac{\theta\ (^{\circ})}{t\ (h)}=\dfrac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}.h^{-1}[/tex]
Minutes : [tex]\omega=\dfrac{\theta\ (^{\circ})}{t\ (h)}=\dfrac{360^{\circ}}{1}=360^{\circ}.h^{-1}[/tex]
Nous cherchons en combien de temps, l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes seront à la même position sur l'horloge.
Si les deux aiguilles sont à la même position sur l'horloge, cela veut dire qu'elles possèdent la même position angulaire sur le disque
Ensuite comme nous sommes entre 16h et 17h l'aiguille des heures et l'aiguille des minutes seront entre le 5 et le 4, obligatoirement !!
Ce qui nous donne un intervalle : [16h20, 16h25]
Grâce aux vitesses angulaires calculées précédemment, nous avons..
Position de l'aiguille des minutes à 16h20 : [tex]\dfrac{20}{60}\times 360=120^{\circ}[/tex]
Position de l'aiguille des heures à 16h20 : [tex]16\times 30+\dfrac{20}{60}\times 30-360=130^{\circ}[/tex]
Position de l'aiguille des minutes à 16h21 : [tex]\dfrac{21}{60}\times 360=126^{\circ}[/tex]
Position de l'aiguille des heures à 16h21 : [tex]16\times 30+\dfrac{21}{60}\times 30-360=130.5^{\circ}[/tex]
Position de l'aiguille des minutes à 16h22 : [tex]\dfrac{22}{60}\times 360=132^{\circ}[/tex]
Position de l'aiguille des heures à 16h22 : [tex]16\times 30+\dfrac{22}{60}\times 30-360=131^{\circ}[/tex]
Nous pouvons voir que nous sommes entre 16h21 et 16h22.
Posons [tex]m[/tex] les minutes :
[tex]\dfrac{m}{60}\times 360=16\times 30+\dfrac{m}{60}\times 30-360\\\\6m=480+\dfrac{m}{2}-360\\\\6m=120+\dfrac{m}{2}\\\\12m=240+m\\11m=240\\m\approx 21.818181..[/tex]
16 heures, 21 minutes et 49 secondes.
