Bonjour,
1) Calcul de BC avec le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A.
BC² = AC² + AB²
BC² = 15² + 8²
BC² = 225 + 64
BC = √289
BC = 17
La mesure de l'hypoténuse BC dans le triangle ABC est 17 cm.
2) Calcul de l'angle ACB dans le triangle ABC rectangle en A, avec la trigonométrie (SOH/CAH/TOA).
On connait l'hypoténuse BC = 17 cm
On connait le côté adjacent AC = 15 cm
On cherche l'angle C.
On va utiliser le cosinus.
Cos(angle C) = AC/BC = 15/17 = 0,8823529...
Arccos(0,8823529) = 28,072°
L'angle ACB mesure 28°
Calcul de l'angle B par différence...
La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Angle B = 180° - (angle A + Angle C)
Angle B = 180° - (90 + 28) = 180 - 118° = 62
La mesure de l'angle ABH est de 62°.
De même, calcul de l'angle HAC par différence...
La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Angle HAC = 180° -(90 + 28)
Angle HAC = 180° - 118 = 62°
La mesure de l'angle HAC est égale à la mesure de l'angle ABH
Comme l'angle ACB est commun aux deux triangles ABC et AHC alors sa mesure est 28° pour les deux triangles.
Les angles étant de même mesure pour les deux triangles
Angle ABC = Angle CAH = 62°
Angle C est commun aux deux triangles = 28°
Angle BAC = AHC = 90°
on peut en conclure que ces deux triangles sont semblables.
3) En déduire AH, BH et CH.
a) calcul de la mesure de AH avec la trigonométrie.
On connait l'angle C = 28°
On connait l'hypoténuse AC = 15 cm
On cherche le côté opposé AH ?
On va utiliser le Sinus.
Sin(28) = AH/AC = AH/15
AH = Sin(28) × 15 = 7,04
La mesure de AH est environ 7 cm.
Calcul de BH dans le triangle AHB rectangle en H, avec le théorème de Pythagore :
AB² = BH² + AH²
BH² = AB² - AH²
BH² = 8² - 7²
BH² = 64 - 49
BH = √15
BH = 3,87
La mesure de BH est d'environ 3,9 cm.
Calcul de CH par différence :
CH = BC - BH → 17 - 3,9 = 13,1 cm
La mesure de CH est d'environ 13,1 cm.
Voir figure jointe.
