Bonjour,
nombre total de boules : 10 + n
a) X = -1 implique le tirage d'une boule blanche (gain de 2 €) et d'une boule rouge (perte de 3 €), l'ordre étant sans importance. Donc Blanche puis Rouge ou Rouge puis Blanche.
Probabilité de tirer une boule blanche : p(B) = 10/(10 + n)
Probabilité de tirer une boule rouge : p(R) = n/(10 + n)
donc p(X = -1) = 2 x 10/(10 + n) x n/(10 + n) = 20n/(10 + n)²
b) Les possibilités de tirages sont :
B et B
B et R
R et B
R et R
Donc les possibilités de gain sont :
X = 4
X = -1
X = -1
X = -6
La loi de X est donc :
Xi -1 4 -6
p(X = Xi) 20n/(10 + n)² 100/(10 + n)² n²/(10 + n)²
On vérifie : 20n + 100 + n² = (10 + n)² donc la somme des probabilités est bien égale à 1
c) E(X) = [(-1 x 20n) + (4 x 100) + (-6 x n²)]/(10 + n)²
= (-6n² - 20n + 400)/(10 + n)²
Le jeu est favorable au joueur quand E(X) > 0 :
⇒ -6n² - 20n + 400 > 0 (car (10 + n)² > 0)
on résout et on trouve n < 6,66...
Donc il faut n ∈ [2;6]
