Répondre :
1) le nombre d'or : Φ = (1 + √5)/2 = 1.618033
2) calculer la valeur exacte de IC
IBC triangle rectangle en B ⇒ théorème de Pythagore
IC² = IB² + BC² = (1/2)² + 1 = 1/4 + 1 = 5/4 ⇒ IC = √5/2
Puis démontrer que AE = DF = 1 + √5)/2
notant a : le côté du carré ABCD
AE/AD = AI + IE)/AD = (a/2 + a√5/2) /a = (1 + √5)/2
DF/EF = DC + (AE - AB))/EF = a + (a/2 + a√5/2 - a))/a = a - a/2 + a√5/2)/a
= a/2 + a√5)/2)/a
= (1 + √5)/2
Donc AE = DF = (1 + √5)/2
3) montre que le nombre d'or est solution de l'équation
x² - x - 1 = 0
Le nombre d'or Ф = (1 + √5)/2
[(1 + √5)/2]² - (1 + √5)/2 - 1 = 0
(1+√5)²/4 - (1 + √5)/2 - 1 = 0
1 + 2√5 + 5)/4 - (1 + √5)/2 - 1 = 0
6 + 2√5)/4 - 2(1 + √5)4 - 4/4 = 0
⇔ (6 + 2√5 - 2 - 2√5 - 4)/4 = 0
⇔ (6 - 6 + 2√5 - 2√5)/4 = 0
0/4 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ Le nombre d'or est solution de l'équation
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