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résolu

salut à tous

j'etudie la monotonie de un=(2n+1)/(n+3) avec la methode du "comparer un+1/un à 1 et je suis bloqué quand à comparer à 1

en effet je me retrouve avec (2n+2)(n+3)/(n+4)(2n+1) que je simplifie en 6/(n+4)

et la.. le bug

car en le calculant tout simplement avec un+1-un j'obtiens un resultat superieur a 0 donc croissant mais la vue que je dois le comparer à 1 je ne sais pas comment faire vue qu'elle peut egalement etre inferieur à 1 et superieur à 1

comment faire svp

merci

Répondre :

CAYLUSVIZ

Bonjour,

1)

[tex] u_n=\dfrac{2n+1}{n+3} \\u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+3}=\dfrac{2n+3}{n+4} \\u_{n+1}-u_n=\dfrac{2n+3}{n+4}-\dfrac{2n+1}{n+3}\\=\dfrac{(2n+3)(n+3)-(2n+1)(n+4)} {(n+4)(n+3)}\\=\dfrac{2n^2+9n+9-(2n^2+9n+4)}{(n+4)(n+3)}\\=\dfrac{5}{(n+4)(n+3)}\\Qui\ est \positif\ \à\ l'ext\'erieur\ des\ racines\ donc\ toujours\ positif\ car \ n\geq0.\\(u_n)\ est\ bien\ croissante. [/tex]

2)

[tex] u_n=\dfrac{2n+1}{n+3} \\u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+3}=\dfrac{2n+3}{n+4} \\\dfrac{u_{n+1}}{u_n} -1=\dfrac{2n+3}{n+4}*\dfrac{n+3}{2n+1}-1\\=\dfrac{(2n+3)(n+3)-(n+4)(2n+1)}{(n+4)(2n+1)}\\=\dfrac{2n^2+9n+9-(2n^2+9n+4)}{(n+4)(2n+1)}\\=\dfrac{5}{(n+4)(2n+1)}\\qui\ est\ positif\ \`a \ l'ext\'erieur \ des\ racines. Donc\ toujours\ positif.\\(u_n)\ est\ croissante. [/tex]

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