Répondre :
2) pour tout n nombre entier naturel Un ≠ 0
Vn = 1 + (2/Un)
a) calculer V₀ , V₁ et V₂. Conjecturer sur la nature de la suite (Vn)
V₀ = 1 + (2/U₀ = 1 + (2/1) = 1 + 2 = 3
V₁ = 1 + (2/U₁) = 1 + (2/2/5) = 1 + 5 = 6
V₂ = 1 + (2/U₂) = 1 + (2/1/4) = 1 + 8 = 9
c'est une suite arithmétique
b) montrer que (Vn) est une suite arithmétique, dont - on déterminera la raison et son premier terme
Vn+1 - Vn = (1 + (2/(Un+1)) - (1 + (2/Un))
= 1 + 2/(2Un/(2+3Un)) - (1 + (2/Un))
= 1 + 2(2 + 3Un)/2Un - (1 + (2/Un))
= 1 + (2 + 3Un)/Un - (1 + 2/Un)
= Un + 2 + 3Un)/Un) - (Un + 2)/Un
= 3Un/Un
= 3
La raison r = 3 , premier terme V₀ = 3
c) exprimer Vn en fonction de n. En déduire Un en fonction de n
Vn = V₀ + nr = 3 + 3n
⇒ Vn = 3 + 3n
puisque Vn = 1 + 2/Un ⇒2/Un = Vn - 1 ⇒ Un = 2/(Vn - 1)
⇒ Un = 2/(2 + 3n)
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