Bonjour ;
1)
Soient M(x ; f(x)) et N(xN ; yN) son symétrique par rapport à I(3 ; 4) .
I est le milieu du segment [MN] donc on a :
(x + xN)/2 = xI = 3 et (f(x) + yN)/2 = yI = 4 ;
donc : x + xN = 6 et f(x) + yN = 8 ;
donc : xN = 6 - x et yN = 8 - f(x) .
2)
On a : f(x) = 1/(x - 4) + 3 .
N ∈ H , donc : yN = f(xN) avec H la représentation graphique de f ;
donc : 8 - f(x) = f(6 - x) = 1/((6 - x) - 4) + 3 = 1/(2 - x) + 3 ;
donc : 8 - 1/(x -4 ) - 3 = 1/(2 - x) + 3 ;
donc : 2 - 1/(x - 4) = 1/(2 - x) ;
donc : 2 = 1/(2 - x) + 1/(x - 4) = (x - 4 + 2 - x)/(2x - 8 - x² + 4x) = - 2/(-x² + 6x - 8) ;
donc : 1 = - 1/(- x² + 6x - 8) ;
donc : - x² + 6x - 8 = - 1 ;
donc : - x² + 6x - 7 = 0 ;
donc : x² - 6x + 7 = 0 .
3)
La représentation graphique de la fonction g d'expression algébrique :
g(x) = x² - 6x + 7 la parabole C de sommet S de coordonnées :
- (- 6)/2 = 3 et 3² - 6 * 3 + 7 = 9 - 18 + 7 = - 2 ;
et dont les branches tendent vers l'infini par valeurs positives .
Les positions géométriques du point N sont l'intersection de C et H .
