Etudions la convergence de la suite (Un) :
Un+1 = [4(n+1)³ + (n+1)*(-1)∧(n+1)]/6(n+1)³ = [4(n+1)³ - (n+1)*(-1)∧n ]/6(n+1)³ --> 4(n+1)³/6(n+1)³ --> 4n³/6n³ --> 4/6 = 2/3 . La représentation graphique de la suite (Un) va osciller autour de l' asymptote horizontale d' équation y = 2/3 .
La représentation graphique de la suite (Vn) va approcher par dessous l'asymptote horizontale d' équation y = 1,5 .
Cherchons les limites des deux suites pour n tendant vers l' infini :
Lim(Un) = lim(4n³/6n³) = 4/6 = 2/3 .
Lim(Vn) = lim(3n/2n) = 3/2 = 1,5 .
Calculons quelques valeurs :
n = 10 --> U10 = 4010/6000 ≈ 0,668 > 2/3 et U11 = 5313/7986 ≈ 0,665 < 2/3 .
n = 10 --> V10 ≈ 29,7/25 ≈ 1,2 ; n = 100 --> V100 ≈ 299,7436/205 ≈ 1,462 ; n = 1000 --> V1000 ≈ 2999,3/2005 ≈ 1,496 .
Conclusion : les calculs confirment bien les "prédictions" !
