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Bonsoir.
Tu fixes n dans N.
1/Tu exprimes w(n+1)=v(n+1)-u(n+1) en fonction w(n)=v(n)-u(n)
2/si w(n+1)=k*w(n) alors tu déduit par récurrence immédiate que w(n)=k^(n-1)*w(1)
3/si 0<k<1 tu déduis que w(n) est convergente et converge vers 0.
4/tu montres dabord par récurrence que u(n) et v(n) sont strictement positives pour tout n dans N. Ensuite tu n'as qu'à trouver le signe de la différence, cad celui de u(n+1) - u(n) et de l'autre, sachant que tu connais le signe de w(n)=v(n)-u(n) d'après 2/.
5/ les resultats des questions 3 et 4 impliquent que les suites un et vn sont adjacentes, si tu veux convergentes et de même limite, wn<0 te donne vn<=un. vn croissante donc vn>=v1 Et un décroissante implique un<=u1, d'où cqfd
Tu fixes n dans N.
1/Tu exprimes w(n+1)=v(n+1)-u(n+1) en fonction w(n)=v(n)-u(n)
2/si w(n+1)=k*w(n) alors tu déduit par récurrence immédiate que w(n)=k^(n-1)*w(1)
3/si 0<k<1 tu déduis que w(n) est convergente et converge vers 0.
4/tu montres dabord par récurrence que u(n) et v(n) sont strictement positives pour tout n dans N. Ensuite tu n'as qu'à trouver le signe de la différence, cad celui de u(n+1) - u(n) et de l'autre, sachant que tu connais le signe de w(n)=v(n)-u(n) d'après 2/.
5/ les resultats des questions 3 et 4 impliquent que les suites un et vn sont adjacentes, si tu veux convergentes et de même limite, wn<0 te donne vn<=un. vn croissante donc vn>=v1 Et un décroissante implique un<=u1, d'où cqfd
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