Bonjour,
plusieurs méthodes. En voici une :
(x² + 1) - x²cos(x) = x²(1 - cos(x)) + 1
-1 ≤ cos(x) ≤ 1
⇔ 1 ≥ -cos(x) ≥ -1
⇔ 2 ≥ 1 - cos(x) ≥ 0
x² ≥ 0 ⇒ 2x² ≥ x²(1 - cos(x)) ≥ 0 ⇔ 2x² + 1 ≥ x²(1 - cos(x)) + 1 ≥ 1
⇒ x² - x²cos(x) + 1 ≥ 1
⇔ x²cos(x) ≤ x² + 1
⇒ x²cos(x)/(x² + 1) ≤ 1 (car x² + 1 > 0)
Même démo pour la seconde inégalité :
(x² + 1) + x²cos(x) = x²(1 + cos(x)) + 1
....
On peut aussi démontrer que la fonction x²cos(x)/(x² + 1) est bornée en étudiant les limites.
Ou encore simplement dire :
-1 ≤ cos(x) ≤ 1
⇒ -x² ≤ x²cos(x) ≤ x²
⇒ -x²/(x² + 1) ≤ x²cos(x)/(x² + 1) ≤ x²/(x² + 1)
puis : x²/(x² + 1) = 1/(1 + 1/x²) donc ∈ [0;1] etc...
