Bonjour
Le coût de 80 € correspond au produit du prix p du litre d'essence par le volume V d'essence acheté
Dans la première station : p × V = 80
Dans la deuxième station :
- le prix du litre vaut (p - 0,1) ;
- le volume acheté est de (V + 5) ;
- le coût est toujours de 80 €.
Donc (V + 5) (p - 0,1) = 80
A partir de l'équation obtenue sur la première station, nous pouvons exprimer p en fonction de V :
p × V = 80 ⇔[tex] p=\frac{80}{V} [/tex]
Dans l'équation correspondant à la seconde station, nous pouvons donc substituer p par [tex] \frac{80}{V} [/tex] :
[tex] \left \{ {{(V + 5) (p - 0,1) = 80} \atop {p=\frac{80}{V}}} \right. [/tex]
⇒ [tex] (V+5)(\frac{80}{V} -0,1) =80 [/tex]
⇒ [tex] 80 - 0,1V + \frac{400}{V} -0,5 = 80 [/tex]
⇒ [tex] - 0,1V + \frac{400}{V} -0,5 = 0 [/tex]
⇒ [tex] -0,1V^2+400-0,5V=0 [/tex]
On obtient donc le polynôme du second degrés -0,1 x² - 0,5x + 400 dont l'une des racines (c'est-à-dire des solutions de l'équation -0,1 x² - 0,5x + 400 = 0) correspond au volume V d'essence acheté dans la première station.
Pour cela, il faut calculer le discriminant par la formule
Δ = b²- 4ac. Ici Δ = 0,5² - 4 × (-0,1) × 400 = 160,25
Donc les racines sont :
[tex] x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} [/tex]
Ici [tex] x_1 = \frac{0,5-\sqrt{160,25}}{2*(-0,1)} = 60,7949 [/tex]
et [tex] x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} [/tex]
Ici [tex] x_2 = \frac{0,5+\sqrt{160,25}}{2*(-0,1)} =- 65,7949 [/tex]
Seule la solution [tex] x_1 [/tex] peut être retenue car c'est la seule positive.
Donc le volume d'essence acheté dans la première station est donc
V = 60,7949 L (à [tex] 10^{-4} [/tex] près.)
Le prix du litre y est donc de [tex] p = \frac{80}{V}=\frac{80}{60,7949} =1,3159 [/tex] € (à [tex] 10^{-4} [/tex] près.)
