2 x² - (√a + 12) x + 6√a = 0
Δ = (√a + 12)² - 4* 2*6√a
= a + 24√a + 144 - 48√a
= a - 24√a + 144
= √a² - 24√a + 144
Posons p = √a avec a ≥ 0
p² - 24 p + 144
Δ = p²- 24 p + 144
1 er cas : Δ > 0 ⇔ p² - 24 p + 144 > 0 ⇒ 2 racines distinctes
p² - 24 p + 144 = (p - 12)² > 0 est une identité remarquable a²-2ab + b² =(a-b)²
⇒ p > 12 ⇔ √a > 12 ⇔ a > 144 a ∈]144 ; + ∞[
dans cet intervalle l'équation initiale a deux racines distinctes
2emè cas Δ = 0 ⇒ (p - 12)² = 0 ⇒ p = 12 ⇔ √a = 12 ⇒ a = 12
L'équation initiale possède une seule racine x = - b/2a = (√12 + 12)/4
x = - (2(√3 + 6)/4 = (√3 + 6)/2 = 3 + √3/2
3ème cas : Δ < 0 ⇔ (p - 12)² < 0 ce cas n'est pas possible car (p - 12)² > 0
2) (a - 5) x² - (3 a - 14) x + 3 = 0
Δ = (3 a - 14)² - 12(a - 5) = 9 a² - 84 a + 196 - 12 a + 60
= 9 a² - 96 a + 256
1er cas Δ > 0 ⇔ 9 a² - 96 a + 256 > 0
δ = 96² - 4*9*256 = 9216 - 9216 = 0
a > - b/2a' = 96/18 = 48/9 > 16/3
a ∈]16/3 ; + ∞[ ⇒ l'équation initiale possède 2 solutions distinctes
2 ème cas Δ = 0 ⇒ a = 16/3 ⇒ l'équation possède une seule solution
x = - b/2a' = 2/2/3 = 3
3ème cas Δ < 0 ⇒ a < 16/3 ⇒ a ∈]- ∞ ; 16/3[ pas de racines
