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Question 1
1 °) (x-2)² = (x-2) (x-2) = x²-2x -2x + 4 = x² - 4x + 4
On peut aussi utiliser directement l'identité remarquable (a-b)² = a²-2ab + b²
2°) -2(5-3x)² = -2 (25 - 30x + 9x²) = -18x² + 60x - 50
3°) 3 (2x-1) (4+x) = (6x-3) (4 + x) = 24x + 6x² -12 - 3x = 6x² + 21x -12
4°) xy (x² + 3y²) = x³y + 3xy³
(ou bien si dans l'énoncé, c'est (3y) qui est au carré : xy [x² + (3y)²] = x³y + 9xy³)
Question 2
1°) (x-3) (2-3x) - (x-1)(x-3) = (x-3) [(2-3x)-(x-1)] = (x-3)(2-3x-x+1) = (x-3)(3-4x)
(x-3) ≥ 0 ⇔ x ≥ 3
(3-4x) ≥ 0 ⇔ [tex] x\leq\frac{3}{4} [/tex]
En faisant un tableau de signe on trouve
x ________|______3/4____________3__________|
(x-3)______|___-___|______-_______0____+_____|
(3-4x)_____|___+___0______-______|____-______|
(x-3)(3-4x)__|__-____0_____+_______0____-_____|
Donc (x-3)(3-4x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [[tex]\frac{3}{4}[/tex] ;3 ]
2°) x²-3x = x(x-3)
En faisant un tableau de signe on trouve
x _____|_______0____________3_________|
x______|___-___0______+_____|____+_____|
(x-3)___|____-___0_____-______0____+____|
x(x-3)__|___+____0_____-______0____+____|
Donc x²-3x ≤ 0 ⇔ x ∈ [0 ; 3]
3°) 9-4x²
C'est une identité remarquable du type a²-b² = (a-b) (a+b) où
a² = 9 donc nous pouvons remplacer a par 3
et b² = 4x² donc nous pouvons remplacer b par 2x
Donc 9-4x² = (3 - 2x) (3 + 2x)
(Si on prend a=(-3), alors on peut aussi écrire 9-4x² = (-3 - 2x) (-3 + 2x). C'est aussi une solution.)
2x + 3 ≥ 0 ⇔ [tex] x \geq \frac{-3}{2}[/tex]
3 - 2x ≥ 0 ⇔ [tex] x \leq \frac{3}{2}[/tex]
Donc, en faisant un tableau de signe :
x _________|_______-3/2_________3/2_________|
(3-2x)______|___+____|______+_____0____-_____|
(2x+3)______|____-___0_____+______0____+____|
(3-2x)(2x+3)_|___-____0_____+______0____-_____|
Donc 9-4x² ≥ 0 ⇔ x ∈ [tex] [\frac{-3}{2} ;\frac{3}{2} ] [/tex]
4 °) x² + 8x + 16 est une identité remarquable du type a² + 2ab + b² où, ici :
a²=x² donc nous pouvons remplacer a par x
et b² = 16 donc nous pouvons remplacer b par 4.
Donc x² + 8x + 16 = (x+4)²
Etant donné qu'il s'agit d'un carré (le carré de (x+4)), ce nombre sera toujours positif ou nul (car le carré d'un nombre réel est toujours positif), quelque soit x ∈ |R.
(x+4)² sera nul lorsque x=(-4).
J'espère t'avoir aidé. Bon courage.
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