Bonjour,
Je vais faire tout l'exercice car pour pouvoir traiter le 2, il faut avoir fait le 1)
1)a) La suite V ets géométrique si et seulement si V(n+1)/V(n)=constante:
V(n+1)/V(n)=(U(n+1)-1)/(U(n)-1)
V(n+1)/V(n)=(((1/5)U(n)+4/5)-1)/(U(n)-1)
V(n+1)/V(n)=(1/5)(U(n)-1)/(U(n)-1)
V(n+1)/V(n)=1/5 donc V est bien une suite géométrique de raison 1/5
b) Si V est une suite géométrique de raison 1/5 donc on peut écrire:
V(n)=V(0)q^n
Avec V(0)=U(0)-1=13-1=12 et q=1/5 donc
V(n)=12×(1/5)ⁿ
Comme on a:
V(n)=U(n)-1
U(n)=V(n)+1
U(n)=12×(1/5)ⁿ+1
Comme (1/5)<1 donc si n tend vers +∞ alors (1/5)ⁿ tend vers 0 donc 12×(1/5)ⁿ aussi, on en déduit alors facilement que:
Lim U(n) n->+∞=1
2)a) Pour connaître ce sens de variation, nous allons calculer S(n+1)-S(n) et en étudier le signe:
S(n+1)-S(n)=(U(0)+U(1)+...+U(n)+U(n+1)-(n+1)-1-(U(0)+U(1)+..+U(n)-n-1)
S(n+1)-S(n)=(n+2)+V(0)+...+V(n+1)-(n+1)-1-(n+1)-(V(0)+...+V(n)-n-1) car U(n)=V(n)+1
S(n+1)-S(n)=V(n+1) (c'est du calcul algébrique long et rabarbatif)
S(n+1)-S(n)=12(1/5)ⁿ⁺¹
∀n∈N, on a 12(1/5)ⁿ⁺¹>0 donc S(n+1)-S(n)>0 donc la suite S est croissante.
b) On sait que:
S(n)=U(0)+U(1)+...+U(n)-n-1
Comme U(n)=V(n)+1 donc
S(n)=V(0)+1+V(1)+1+...+V(n)+1-n-1
S(n)=(n+1)+V(0)+...+V(n)-n-1
S(n)=V(0)+...+V(n)
Comme V est une suite géométrique donc la somme de ses n termes consécutifs est:
S(n)=V(0)×(1-(q)ⁿ⁺¹)/(1-q)
S(n)=12ₓ(1-(1/5)ⁿ⁺¹)/(1-1/5)
S(n)=15ₓ(1-(1/5)ⁿ⁺¹)
c) Lim S(n) n->+∞=Lim 15(1-(1/5)ⁿ⁺¹) n->+∞
quand n devient très grand alors (1/5)ⁿ⁺¹ tend vers 0 donc on peut écrire que:
Lim S(n) n->+∞=15
