Pour analyser la séquence, on peut comparer deux termes consécutifs (par exemple, [tex]v_n[/tex] et [tex]v_{n+1}[/tex]):
[tex]\bullet~v_n:\\\\
\boxed{v_n = u_n - \dfrac{1}{2}}\\\\\\
\bullet ~v_{n+1}:\\
v_{n+1} = u_{n+1}-\dfrac{1}{2}\\\\
v_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2}u_{n}+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}\\\\
v_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n}-\dfrac{1}{4}\\\\
\boxed{v_{n+1} =\dfrac{1}{2} \left(u_{n}-\dfrac{1}{2}\right)}[/tex]
Ensuite, en analysant la raison [tex]\dfrac{v_{n+1}}{v_n}[/tex]:
[tex]\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{\dfrac{1}{2} \left(u_{n}-\dfrac{1}{2}\right)}{u_{n}-\dfrac{1}{2}}\\\\
\boxed{\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{1}{2}}[/tex]
Le rapport des termes consécutifs est constant, donc la série est géométrique. [tex]\blacksquare[/tex]
Le premier terme es:
[tex]v_0 = u_0-\dfrac{1}{2}\\\\
v_0 = 1-\dfrac{1}{2}\\\\
\boxed{v_0=\dfrac{1}{2}}[/tex]
Le premier terme est v₀ = 1/2 et le ratio est 1/2.
