1. Tableau de variations à partir de ce qu'on voit graphiquement (bon il manque les traits je sais aha) :
x -2,25 -1 1 1,75
var. de f flèche montante flèche descendante flèche montante
2. Graphiquement encore, on voit clairement que f(x) < 0 pour x< -2
f(x) = 0 pour x=1 et x=-2
f(x)>0 pour x ∈ ]-2;1[ U ]1 ; 1,75[
3. D'après le cours, on sait que f'(a) est égale à la pente de la tangente à la courbe de f en x=a.
graphiquement on voit que en x=-1 la tangente à la courbe est horizontale (pente nulle) donc f'(-1) = 0. De même la tangente à la courbe en x=0 a une pente de -3 (lorsqu'on avance d'une graduation vers la droite, on descends de trois graduations) . Donc f'(0) = -3
4. On cherche tous les a tels que f'(a)=0 . Autrement dit on cherche toutes les tangentes à la courbe qui sont horizontales. On a vu que c'était le cas pour x=-1, c'est aussi le cas pour x=1
En fait ce sera le cas pour tous les points où on a changement de variations de f (la dérivée change de signe eh oui)
5. On va utiliser la formule du cours qui donne l'équation de la tangente T à la courbe de f en x=a :
T : y = f'(a) (x-a) + f(a)
exprimons là pour les différentes tangentes tracées (c'est-à-dire pour a=-1, a=0 et a=1) :
Pour a=-1 cette équation de tangente est y=f'(-1)(x-(-1)) + f(-1) = 0 + f(-1) car f'(-1)=0 et f(-1) = 4 graphiquement donc l'équation de la tangente est T : y=4 (droite horizontale)
Pour a=1 c'est à peu près pareil, et on trouve T : y=0 (droite horizontale à nouveau)
Pour a=0 , l'équation de tangente est y=f'(0)*x + f(0) = -3x+2
Donc T: y = -3x+2
6. Pour tout a compris entre -1 et 1 on ne peut avoir f'(a)>0 car f est strictement décroissante sur cet intervalle, ce qui est équivalent à dire que sa dérivée est négative sur cette intervalle. D'où l'impossibilité.
