a) Pour décomposer un nombre en produits de facteur premiers, il faut diviser le nombre par le 1er nombre premier (2), et si le reste de la division euclidienne de ce nombre par 2 est nul (ou dans une division "normale", on n'obtient pas de virgule) alors on prend ce nouveau quotient comme nombre à tester sinon si le reste est non nul alors on doit trouver un nombre premier pour lequel il est un diviseur pour le nombre cherché.
On peut aussi lister les diviseur et décomposer chaque nombre en produits de facteurs premiers (mais c'est plus long).
720/2 = 360 donc on continue avec 360.
360/2 = 180
180/2 = 90
90/2 = 45
45/2 ne donne pas un reste non nul donc on doit choisir un autre nombre premier.
45/3 = 15
15/3 = 5
5/5 = 1 (5 est un nombre premier donc le calcul s'arrête).
On a donc 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 (vérifier que ça fait bien 720).
Donc, 720 = [tex]2^{4}[/tex] * 3² * 5
Pareil pour 756
756 / 2 = 378
378 / 2 = 189
189 / 3 = 63
63 / 3 = 21
21 / 3 = 7 (7 est premier, on s'arrête).
756 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7 = 2² * 3³ * 7
L'écriture simplifiée ne nous servira pas ici car nous cherchons tous les nombres premiers communs entre 720 et 756.
On a : 2 * 2 * 3 * 3 = 36.
b) La plus grande valeur possible pour x est 36 (mm).
c) Toutes les valeurs possibles pour x sont tous les diviseurs communs à 720 et 756 (lister les diviseurs sera plus aisé que de regarder la décomposition (car les diviseurs doivent être écrits en nombre et non sous forme d'une décomposition).
720 : 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 30 36 (on peut s'arrêter à 36 car on sait que c'est le plus grand diviseur commun entre 720 et 756).
756 : 1 2 3 4 6 7 9 12 14 18 21 27 28 36
Pour l'attribution des valeurs de x (diviseurs communs à 720 et 756), on a :
2 3 4 6 9 12 18 36. Donc avec tous ces nombres (ils représentent la mesure de l'arête du cube), on pourra remplir la boîte sans laisser d'espace vide.
