Bonjour,
1) (Un) constante : Un+1 = Un
soit 4/(4 - Un) = Un
⇔ 4 = Un(4 - Un)
⇔ Un² - 4Un + 4 = 0
⇔ (Un - 2)² = 0
⇔ Un = 2
2) U₀ < 2
On suppose Un < 2
Au rang (n+1) :
Un < 2
⇔ -Un > -2
⇔ 4 - Un > 4 - 2
⇔ 1/(4 - Un) < 1/2 car 4 - Un > 0
⇔ 4/(4 - Un) < 2
⇔ Un+1 < 2
donc propriété héréditaire
3) Un+1 - Un
= 4/(4 - Un) - Un
= (4 - 4Un + Un²)/(4 - Un)
= (Un - 2)²/(4 - Un)
(Un - 2)² > 0 et (4 - Un) > 0 ⇒ Un+1 - Un > 0 ⇒ (Un) croissante
4) U₀ = -1
Vn = 1/(Un - 2)
⇒ Vn+1 = 1(Un+1 - 2)
Un+1 - 2 = 4/(4 - Un) - 2 = (4 - 8 + 2Un)/(4 - Un) = 2(Un - 2)/(4 - Un)
⇒ Vn+1 = (4 - Un)/2(Un - 2)
⇒ Vn+1 - Vn = (4 - Un)/2(Un - 2) - 1/(Un - 2)
= (4 - Un - 2)/(Un - 2)
= (2 - Un)/(Un - 2)
= -1
⇒ (Vn) arith de raison r = -1 et de 1er terme V₀ = 1/(U₀ - 2) = -1/3
5) on en déduit : Vn = -1/3 - n
et donc Un = 1/Vn + 2 = -1/(1/3 + n) + 2 = ...
6) lim Un quand n → +∞ = 2
⇒ (Un) converge vers 2
