posons X = x² --> alors on doit résoudre : X² + 3X + 2 = 0 --> (X+1) (X+2) = 0
--> X = -1 ou X = -2 --> or un carré ne peut pas être négatif dans IR
--> pas de solution dans IR .
Dans l' ensemble des complexes,
on aurait comme ensemble solution { i ; -i ; i√2 ; -i√2 }
b) 2X² + X - 1 = 0 --> (X+1) (2X-1) = 0 --> 2X-1 = 0 --> X = 0,5
--> x = -1/√2 OU x = 1/√2 ( dans IR) .
c) X² - X + 2 = 0 --> (X-0,5)² + 1,75 = 0 --> impossible dans IR .
Bonjour !
Il s'agit d'équations biquadratiques. C'est à dire puissance 4.
Donc pour résoudre ce trinôme à l'aide du discriminant, il nous faut en quelque sorte "convertir" cette équation en termes que nous connaissons, c'est à dire un trinôme du second degré.
Pour cela on pose [tex]X = x^{2}[/tex]. La seule différence est que lorsque nous allons obtenir notre ou nos racines (si Δ ≥ 0) il faudra trouver la racine carré.
a. [tex]x^{4} + 3x^{2} + 2 = 0[/tex]
On change en [tex]X^{2} + 3X + 2[/tex]
On a maintenant un trinôme du second degré, on calcul le determinant.
Δ = [tex]b^{2} - 4ac[/tex]
Δ = [tex](3)^{2} - 4(2)[/tex]
Δ = [tex]9 - 8 = 1[/tex]
Δ > 0 donc le trinôme admet deux racines [tex]x_{1}[/tex] et [tex]x_{2}[/tex]
[tex]X_{1}[/tex] = [tex]\frac{-b-\sqrt{1}}{2} = \frac{-3- 1}{2} = -2[/tex]
[tex]X_{2}[/tex] = [tex]\frac{-b+\sqrt{1}}{2} = \frac{-3+1}{2} = -1[/tex]
On converti les X en [tex]x^{2}[/tex] :
[tex]X_{1} = - 2[/tex] c'est à dire [tex]x^{2} = -2[/tex], impossible (car un carré est ≥ 0)
[tex]X_{2}[/tex] = -1 c'est à dire [tex]x^{2} = -1[/tex], impossible (car un carré ≥ 0)
Donc l'ensemble de solutions pour [tex]x^{4} + 3x^{2} + 2 = 0[/tex] est S = Ф.
Ceci est logique car juste en regardant l'énoncé, on peut conclure ceci :
[tex]x^{4} \geq 0[/tex], [tex]3x^{2} \geq 0[/tex] et 2 > 0 donc [tex]x^{4} + 3x^{2} + 2[/tex] > 0.
