Je vais noter les vecteurs en gras ou avec des flèches.
Pour montrer que I, K et J sont alignés, on va montrer que les vecteurs IJ et IK sont colinéaires par exemple.
On va travailler dans la base (AB ; AC) et définir les coordonnées des points I, J et K dans cette base pour simplifier le travail.
Ainsi comme AK = (2/5)*AB + 0 *AC, les coordonnées de K dans cette base sont K (2/5 ; 0)
De plus par relation de Chasles AJ = AC + CJ = AC +(1/3) CA = AC-(1/3)AC = (2/3) AC
Donc J (0; 2/3)
D'autre part AI = AB + BI = AB + (3/2) BC = AB + (3/2)( BA + AC) =(1-3/2) AB +(3/2) AC = (-1/2)AB + (3/2) AC
Donc I (-1/2 ; 3/2)
On a les coordonnées des trois points. Maintenant déterminons les coordonnées des vecteurs IJ et IK dans cette base pour démontrer qu'ils sont colinéaires :
IJ a pour coordonnées : ( xJ - xI ; yJ - yI ) = (0 + 1/2 ; 2/3 - 3/2) = (1/2 ; -5/6)
IK a pour coordonnées : ( xK - xI ; yK - yI ) = ( 2/5 + 1/2 ; 0- 3/2) = (9/10 ; -3/2)
Là on trouve une proportionnalité entre les coordonnées de IJ et de IK, en effet si on calcule :
[tex] \dfrac{x_{IJ}}{x_{IK}} = \dfrac{1/2}{9/10} = \dfrac{10}{18} =\dfrac{5}{9}[/tex]
de même :
[tex] \dfrac{y_{IJ}}{y_{IK}} = \dfrac{-5/6}{-3/2} = \dfrac{10}{18} =\dfrac{5}{9}[/tex]
donc finalement : IJ = (5/9) IK
d'où IJ colinéaire à IK et donc I,J et K sont alignés CQFD
