1) déterminer la nature du quadrilatère ABCD
AB = √[(5-1)²+(5-3)²] = √(16 + 4) = √20 = 2√5
AD = √[(4 - 1)²+( 0 - 3)²] = √(9+9) = √18
DC = √[(8-4)²+(2 - 0)²] = √(16 + 4) = √20 = 2√5
puisque AB = DC ⇒ le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
2) déterminer les coordonnées des points E et F
E(x ; y) est le symétrique de D par rapport à C ⇒ DC = CE
DC = (4 ; 2)
CE = (x - 8 ; y - 2)
⇒ x - 8 = 4 ⇒ x = 12
y - 2 = 2 ⇒ y = 4
E(12 ; 4)
F est le symétrique de B par rapport à A ⇒ BA = AF
BA= (1 - 5 ; 3 - 5) = (- 4 ; - 2)
AF = (x - 1 ; y - 3)
x - 1 = - 4 ⇒ x = - 3
y - 3 = - 2 ⇒ y = - 2 + 3 = 1
F (- 3 ; 1)
3) étudier la nature du quadrilatère ABEC, ACDF et BEDF
Le quadrilatère ABEC
AB = √20
CE = √[(12 - 8)²+(4 - 2)² = √(16+4) = √20
AB = CE ⇒ ABEC est un parallélogramme
ACDF / FA = DC = √20 ⇒ ACDF est un parallélogramme
par transitivité le quadrilatère BEDF est aussi un parallélogramme
