Bonjour
Question 1
Si N = 3 alors la boucle devient :
Pour k allant de 0 à 2
U <--- 3 U - 2k + 3
Fin Pour
Initialisation : U <--- 0, k <--- 0
Premier passage dans la boucle :
U <--- 3×0 -2×0+3 donc U <--- 3
k <--- 1
Deuxième boucle :
U <--- 3×3 -2×1+3 donc U <--- 10
k <--- 2
Troisième boucle :
U <--- 3×10 -2×2+3 donc U <--- 29
k <--- 3
Donc à la fin de la troisième boucle k > N-1, la condition pour effectuer une quatrième boucle n'est plus respectée : Fin de la boucle Pour
Lorsque N=3, l'algorithme affiche U = 29.
Question 2
[tex]U_0 = 0[/tex] et [tex]U_{n+1}=3U_n-2n+3[/tex]
Donc
[tex]U_1=3U_0-2*0+3 = 3*0-2*0+3=3[/tex]
[tex]U_2=3U_1-2*1+3 = 3*3-2*1+3=10[/tex]
(On retrouve bien sûr les valeurs calculées à la question 1, lors du passage des deux premières boucles de l'algorithme.)
Question 3
Initialisation
On sait que [tex]U_0=0[/tex] donc [tex]U_0\geq 0[/tex]
Hiérarchisation
Si il existe un entier naturel p tel que [tex]U_p\geq p[/tex] alors
[tex]3U_p\geq3p[/tex] ⇔ [tex]3U_p-2p\geq3p-2p[/tex] ⇔ [tex]3U_p-2p\geq p[/tex]
⇔ [tex]3U_p-2p+3\geq p+3[/tex] ⇔ [tex]3U_p-2p+3\geq p+1 + 2[/tex]
⇒ [tex]3U_p-2p+3\geq p+1[/tex]
Donc [tex]U_{p+1}\geq p+1[/tex]
Donc si il existe un entier naturel p tel que [tex]U_p\geq p[/tex] alors [tex]U_{p+1}\geq p+1[/tex]
Conclusion :
La propriété [tex]U_n\geq n[/tex] est vérifiée au rang n = 0 et est héréditaire.
Donc pour tout n ∈ |N, [tex]U_n\geq n[/tex]
Question 4
Pour démontrer que la suite [tex](U_n)[/tex] est croissante, calculons [tex]U_{n+1}-U_n[/tex]
[tex]U_{n+1}-U_n = 3U_n-2n+3-U_n=2U_n-2n+3=2(U_n-n)+3[/tex]
Nous avons démontrer à la question précédente que pour tout n ∈ |N, [tex]U_n\geq n[/tex]
Donc [tex]U_n-n\geq 0[/tex] et donc [tex]2(U_n-n)+3\geq 0[/tex]
Par conséquent [tex]U_{n+1}-U_n \geq 0[/tex]
Conclusion : la suite [tex](U_n)[/tex] est croissante.
Question 5a
[tex]V_n=U_n-n+1[/tex]
Pour démontrer que [tex](V_n)[/tex] est une suite géométrique, calculons [tex]\frac{V_{n+1}}{V_n}[/tex]
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{U_{n+1}-(n+1)+1}{U_{n}-n+1} =\frac{U_{n+1}-n-1+1}{U_{n}-n+1} = \frac{U_{n+1}-n}{U_{n}-n+1}[/tex]
Or [tex]U_{n+1}=3U_n-2n+3[/tex] donc
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n} =\frac{3U_n-2n+3-n}{U_{n}-n+1}} = \frac{3U_n-3n+3-n}{U_{n}-n+1}} = \frac{3(U_{n}-n+1)}{U_{n}-n+1} =3[/tex]
Donc [tex]V_{n+1}=3V_n[/tex]
Conclusion : [tex](V_n)[/tex] est donc une suite géométrique de raison 3.
Question 5b
[tex](V_n)[/tex] étant une suite géométrique de raison 3,
[tex]V_n=3^n*V_0[/tex] (formule du cours)
(En effet [tex]V_1=3*V_0[/tex] ; [tex]V_2=3*V_1=3*(3*V_0) =3^2V_0[/tex] ;
[tex]V_3=3*V_2=3*(3^2V_0) =3^3V_0[/tex] ; .... ; [tex]V_n=3^nV_0[/tex])
De plus [tex]V_n=U_n-n+1[/tex] donc [tex]V_0=U_0-0+1 = U_0+1 = 0+1=1[/tex]
Par conséquent, [tex]V_n=3^n*V_0 = 3^n*1=3^n[/tex]
Donc [tex]V_n=U_n-n+1[/tex] ⇔ [tex]3^n=U_n-n+1[/tex]⇔[tex]U_n=3^n+n-1[/tex]
Question 6a
En calculant successivement les termes de [tex](U_n)[/tex] à partir de l'équation [tex]U_n=3^n+n-1[/tex], nous trouvons :
[tex]U_6 = 734[/tex]
et [tex]U_7=2193[/tex]
[tex]U_7[/tex] est donc le premier terme de la suite [tex](U_n)[/tex] supérieur ou égal à 10³.
Conclusion : [tex]n_0= 7[/tex]
Question 6b
Voir l'algorithme en pièce jointe réalisé avec Algobox
pow(10,p) signifie [tex]10^p[/tex]
et, bien sûr, pow(3,n) signifie [tex]3^n[/tex]
Bon courage
