a) donner les dimensions (largeur et longueur) puis l'aire de ce champs pour x = 20
p = 2l + L = 150 ⇔ 2 x + L = 150 ⇒ L = 150 - 2 x = 150 - 2*20 = 150-40 = 110 m
largeur = 20 m
longueur = 110 m
l'aire A = 20*110 = 2200 m²
b) si l'on accepte le champ plat, donner un encaderment de x
0 ≤ x ≤ 75
c)montrer que l'aire de ce champ (m²) peut s'exprimer sous la forme
A(x) = - 2 x² + 150 x
A = l * L = x *(150 - 2 x) = 150 x - 2 x
on a définie une fonction A sur un intervalle I à préciser
I = [0 ; 75]
d) compléter le tableau de valeurs suivant:
x 0 10 20 30 40 50 60 70 75
A(x) 0 1300 2200 2700 2800 2500 1800 700 0
e) tracer le graphe
on choisi en abscisses unité = 10 m en ordonnées unité = 500 m²
on reliant point par point on obtient une parabole tournée vers le bas et coupe l'axe des abscisses en x = 0 et x = 75
les coordonnées du sommet de la courbe est S(40; 2800)
f) résoudre graphiquement l'inéquation A(x) ≥ 2500. Interpréter concrétement ce résultat
on trace la droite d'équation y = 2500 et on s'intéresse à la courbe située au dessus de la droite l'ensemble des solutions est [25 ; 50]
pour les valeurs de x ∈[25 ; 50] l'aire du rectangle est supérieure ou égale à 2500 m²
g) que devrait faire le paysan pour que l'aire de son champ soit maximale
il devra choisir une largeur x = 40 m pour obtenir l'aire maximale
sa superficie est de 2800 m²
h) démontrer que A(x) = 2812.5 - 2(x - 37.5)²
A(x) = - 2 x² + 150 x
la forme canonique est A(x) = a(x -α)² + β
α = - b/2a = - 150/- 4 = 37.5
β = f(α) = f(37.5)² = - 2(37.5)² + 150(37.5) = - 2812.5 + 5625 = 2812.5
donc A(x) = - 2(x - 37.5)²+ 2812.5
i) peut-on faire plus que 2800 m²
la réponse est oui, pour x = 37.5 m on obtient A = 2812.5 m²
les dimensions du prè seront largeur = 37.5 m et L = 75 m