Bonjour,
on raisonne par l'absurde :
Supposons que √(n² + 7n + 10) ∈ N
alors il existe p ∈ N tel que √(n² + 7n + 10) = p
et donc : (√(n² + 7n + 10)² = p²
soit : n² + 7n + 10 = p² ⇒ p < n car (7n + 10) > 0
Or : n² + 7n + 10 = p²
⇔ n² - p² = -(7n + 10)
⇒ n² - p² < 0 car (7n + 10) > 0
⇔ (n + p)(n - p) < 0
n et p ∈ N ⇒ (n + p) ≥ 0
donc il faudrait : (n - p) < 0
⇔ n < p
⇒ impossible car n > p
Donc pour tout n ∈ N, il n'existe aucun entier p tel que (n² + 7n + 10) = p²
ce qui implque que √(n² + 7n + 10) ∉ N
