EX1
f(x) = (2 x + 3)/(-6 x²- 5 x + 4)
1) quel est le domaine de définition de f
-6 x²- 5 x + 4 ≠ 0
Δ = 25 + 96 = 121 ⇒√121 = 11
x1 ≠ 5+11)/-12 = - 4/3 ⇒ x1 ≠ - 4/3
x2 ≠ 5 - 11)/-12 ⇒ x2 ≠ 1/2
Le domaine de définition est : R - {- 4/3 ; 1/2}
2) factoriser le dénominateur : - 6(x + 4/3)(x - 1/2) = -(3 x + 4)(2 x - 1)
3) étudier le signe de f(x)
x - ∞ - 3/2 - 4/3 1/2 + ∞
2 x + 3 - 0 + + +
Dénom - - || + || -
f(x) + 0 - || + || -
4) résoudre l'équation
f(x) = 2 ⇔ (2 x + 3)/(-6 x²- 5 x + 4) = 2 ⇔ (2 x + 3)/(-6 x²- 5 x + 4) - 2 = 0
⇔ 2 x + 3 - 2(- 6 x² - 5 x + 4) = 0 ⇔ 2 x + 3 + 12 x² + 10 x - 8 = 0
12 x² + 10 x - 5 = 0
Δ = 100 + 240 = 340 ⇒√340 ≈ 18
x1 = - 10+18)/24 = 1/3
x2 = - 10-18)/24 = -7/6
EX2
déterminer les valeurs de m pour lesquelles l'équation
m x²+2(m+1) x + m = 0 n'a pas de solutions
Δ = 4(m+1)² - m² < 0 ⇔ (2(m+1))²- m² < 0 ⇔ (2(m + 1) + m)(2(m+1) - m) < 0
(3 m +2)(m + 2) < 0
m - ∞ - 2 - 2/3 + ∞
3m+2 - - 0 +
m+2 - 0 + +
Δ + - +
pour m ∈ ]- 2 ; - 2/3[ l'équation n'a pas de solution
