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Bonjour, j’ai un DM où je galère, c’est une initiation au trinôme ( je n’ai jamais vu ça en cours ) Le problème est le suivant :

On considère le polynôme du 3ème
Idegré P tel que P(x) = x(au cube) - 6x(au carré) + 11x -6

a. Démontrer que 2 est racine de P
b. Déterminer les réels a, b, et c tels que P(x) = (x-2)(ax(au carré) + bx + c)
c. Ressorte alors P(x) inférieur ou égale à 0


Merci d’avance !


Répondre :

bonjour,

polynome du 3éme degré

forme factorisée

(x-a)(x-b)(x-c)

formedéveloppée simplifiée

x³+Px²+Qx+R

R produit des racines

Q somme des racines

forme développée complète

x³-(a+b+c)x²+(ab+bc+ac)x-abc

x³-6x²+11x-6

R=6 diviseurs de 6 1;2;3;6

P=6 (1+2+3)

racines 1,2;3

(x-1)(x-2)(x-3)

Qx=(ab+ba+bc)   Q= 1x2+1x3+2x3  2+3+6=11

2 racine du polynome

P(x)=(x-2)(ax²+bx+c)

P(x)= ax³-2ax²+bx²-2bx+xc-2c

x³-6x²+11x-6

ax³=x³  a=1

x³-2x²+bx²-2bx+xc-2c

-6x²=-2x²+bx²  -6=-2+b   b=-4

x²-6x²-8x+xc-2c

-2c=-6   c=3

-2(-4x)+3x=8x+3x=11x

d'où (x-2)(x²-4x+3) =x³-6x²+11x-6

signe

a)

x²-4x+3=0

Δ=4²-4(1)(3)

Δ=16-12

Δ=4

√Δ=2

x1=(4+2)/2  x1=6/2  x1=3

x2=(4-2)/2 x2=2/2 x2=1

a>0 (x²-4x+3) >0  sauf entre les racines

signe de P(x)

x                    -∞              1               2              3                +∞

x-2                          -                -        0     +            +

x²-4x+3                   +       0     -                -       0    +

P(x)                          -        0     +       0      -       0    +


P(x)≤ 0  x ∈  ]-∞;1] ∪[2; 3]