Bonjour,
Ex 1)
1) z = a + ib
zbarre = a - ib ⇒ zbarre² = (a - ib)² = (a² - b²) - 2abi
⇒ f(z) = a + (a² - b²) + (b - 2ab)i
2) f(z) ∈ R
⇒ Im[f(z)} = 0
⇔ (b - 2ab) = 0
⇔ b(1 - 2a) = 0
⇒ b = 0 et a ∈ R ou a = 1/2 et b ∈ R
⇒ z = a soit f(z) = a + a²
ou z = 1/2 + ib soit f(z) = 3/4 - b²
⇒ Ε : Droite horizontale des réels (y = 0) ∪ Droite verticale x = 1/2
Ex 2) en posant z = a + ib avec a et b réels
Z = 1/(z² + 1) = 1/(a² - b² + 1 + 2abi)
= (a² - b² + 1 - 2abi)/(a² - b² + 1 + 2abi)(a² - b² + 1 - 2abi)
= (a² - b² + 1 - 2abi)/[(a² - b² + 1)² + (2ab)²]
Z ∈ R ⇒ -2ab = 0 et (a² - b² + 1) ≠ 0
⇒ (a = 0 et b ≠ +/- 1) ou b = 0
soit Z = (- b² + 1)/(-b² + 1)² = 1/(1 - b²)²
ou Z = (a² + 1)/(a² + 1)² = 1/(1 + a²)²
1) Faux car Z > 0
2) Si a = 0, z = bi avec b ≠ +/- 1
et si b = 0, z = a
Donc faux
3) vrai cf ci-dessus
4) faux
