Répondre :
1) il faut que 2 m + 1 ≠ 0 soit m ≠ -1/2
2) pour que (eM) ait deux solutions distinctes, il faut que le discriminant soit strictement positif
Δ = (m+3)² - 4 x (2 m + 1) x 1
Δ = m² + 6m + 9 - 8m - 4
Δ = m² - 2m + 5
On cherche à déterminer si m² - m + 5 = 0 a des solutions
Le discriminant de cette équation est (-1)² - 4 * 1 * 5 = 1 - 20 = -19. Comme le discriminant est négatif, il n'y a pas de solution et le signe de (m² - m + 5) est celui du coefficient de m² soit 1 donc positif
Le discriminant Δ est donc toujours strictement positif
D'où l'équation (eM) admet toujours deux solutions distinctes
1) à quelle condition sur m, (eM) est elle une équation du second degré
la condition pour que l'équation soit du second degré il faut (2 m + 1) ≠ 0
⇒ m ≠ - 1/3
2) montrer alors que l'équation (eM) admet toujours deux solutions distinctes
Δ = (m+3)²- 4(2 m + 1) > 0 ⇔ Δ = m²+6 m + 9 - 8 m - 4 > 0
⇔ m² - 2 m + 5 > 0 ⇒δ = 4 - 20 = - 16 pas de racine en m
le signe de a > 0 ⇒ Δ > 0 donc l'équation possède toujours deux racines distinctes
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