Bonjour,
fn continue en 2 (sous-entendu, pour tout n ∈ N*)
⇒ lim fn(x) quand x → 2⁻ = f(2) = (6 + b)/4
lim quand x → 2⁻ [(3 - x)ⁿ - a] = lim [(1⁺)ⁿ - a] = 1 - a
donc lim fn(x) quand x → 2⁻ = lim (1 - a)/(x - 2)
Si 1 - a > 0 : (1 - a)/0⁻ → -∞
et si 1 - a < 0 : (1 - a)/O⁺ → +∞
Or on veut lim (1 - a)/(x - 2) = (6 + b)/4 donc limite finie
⇒ seule possibilité : a = 1
on a alors lim fn(x) quand x → 2⁻ = lim [(3 - x)ⁿ - 1]/(x - 2) = ???
on pose X = 3 - x, soit x = 3 - X ⇒ x - 2 = 1 - X
lim fn(x) quand x → 2⁻ = lim quand X → 1⁺ (Xⁿ - 1)/(1 - X)
n=1 : (Xⁿ - 1) = (X - 1) donc lim (X - 1)/(1 - X) = -1
n=2 : (X² - 1) = (X - 1)(X + 1) donc lim (X² - 1)/(1 - X) = lim (X + 1) = -2
n=3 : (X³ - 1) = (X - 1)(X² + X + 1) donc lim (X³ - 1)/(1 - X) = lim (X² + X + 1) = -3
etc.... donc lim (Xⁿ - 1)/(1 - X) = -n
on veut donc : -n = (6 + b)/4
⇒ b = -4n - 6
ci-joint un exemple sous Geogebra pour n = 4 et pour n = 5
En jouant avec les curseurs a et b tu pourras visualiser le problème.
