Bonjour,
1) on peut déjà écrire C(x) sous la forme :
C(x) = x² + 50x + 1200 + 50/x juste en divisant chaque terme par x
ensuite : bénéfice = prix de vente - cout de production
soit B(x) = 130x - C(x)
= 130x - (x² + 50x + 1200 + 50/x)
= -x² + 80x - 50/x - 1200
2) B'(x) = -2x + 80 + 50/x²
= (-2x³ + 80x² + 50)/x²
En posant : g(x) = -2x³ + 80x² + 50
on a : B'(x) = g(x)/x²
Donc B'(x) est du signe de g(x).
Signe de g(x) sur ]0,100]
g'(x) = -6x² + 160x = x(-6x + 160)
x > 0 sur ]0;100], donc g'(x) est du signe de (-6x + 160)
et -6x + 160 = 0 ⇔ x = 160/6 = 80/3
x 0 80/3 100
-6x+160 + 0 -
g'(x) + 0 -
g(x) crois. décrois.
g(0) = 50 (ou plutôt lim g(xà quand x → 0 = 50)
g(80/3) = ...19012 donc > 0
g(100) = -1 199 950 donc < 0
Donc il existe α ∈ [80/3 ; 100] tel que g(α) = 0
On trouve α ≈ 40,01 à 0,01 près
On en déduit :
x 0 α 100
g(x) 50 + 0 -
B'(x) + 0 -
B(x) crois. décrois.
3) ⇒ B(x) est maximum pour x = α soit 40 objets
et B(α) ≈ 398,75 en milliers d'€
