Bonjour;
1)
Veuillez-voir le fichier ci-joint .
2)
Les ccordonnées du point D sont : (- 5 + 3)/2 = - 1 et (5 - 3)/2 = 1 .
3)
On a : CA² = (- 5 -(- 5))² + (5 - (- 3))² = (- 5 + 5)² + (5 + 3)² = 0² + 8² = 8² = 64 ;
CB² = (3 -(- 5))² + (- 3 - (- 3))² = 8² + 0² = 8² = 64 ;
AB² = (3 - (- 5))² + (- 3 - 5)² = 8² + 8² = 64 + 64 = 128 .
On a : CA² = CB² = 64 , donc le triangle ABC est isocèle en C .
On a aussi : CA² + CB² = 64 + 64 = 128 = AB² , donc en appliquant le théorème réciproque de Pythagore , le triangle ABC est rectangle en C .
Le triangle ABC est à la fois rectangle et isocèle en C .
4)
a)
Les coordonnées du point I sont : (9 - 5)/2 = 2 et (- 1 + 5)/2 = 2 .
b)
Soient x et y les coordonnées du point F .
Pour que ABEF soit un parallélogramme , le point I doit être le milieu du segment [BF] donc on doit avoir : (3 + x)/2 = 2 et (- 3 + y)/2 = 2 ;
donc : 3 + x = 4 et - 3 + y = 4 ;
donc : x = 1 et y = 7 .
5)
a)
Soient u et v sont les coordonnées du point G .
Le point D est le milieu du segment [FG] , donc on a :
(1 + x)/2 = - 1 et (7 + y)/2 = 1 ;
donc : 1 + x = - 2 et 7 + y = 2 ;
donc : x = - 3 et y = - 5 .
b)
Soit T le milieu du segment [GF] , donc ses coordonnées sont :
(1 - 3)/2 = - 1 et (7 - 5)/2 = 1 qui sont les coordonnées du point D , donc les segments [AB] et [GF] ont le même milieu .
Les segments [AB] et [GF] sont les diagonales du quadrilatère AGBF , et comme elles ont le même milieu , donc AGBF est un parallélogramme .
6)
On a : AP² = (- 10 - (- 5))² + (6 - 5)² = 5² + 1² = 25 + 1 = 26 ;
donc : AP = √(26) ≠ 6 ; donc P n'appartient pas au cercle C .
