Bonjour,
1) fn'(x) = 3x² - 2n
fn'(x) = 0 ⇔ 3x² - 2n = 0 ⇔ x² = 2n/3
Or fn est définie sur [0;1] ⇒ x² ∈ [0;1]
√(2n/3) est la solution unique à fn'(x) = 0 sur [0;1]
si et seulement si : 0 ≤ 2n/3 ≤ 1
⇔ 0 ≤ n ≤ 3/2
Or n ≥ 2. Donc fn'(x) = 0 n'a aucune solution dans [0;1]
⇒ fn'(x) < 0 sur [0;1]
⇒ fn est décroissante sur [0;1]
fn(0) = 1 et fn(1) = 2 - 2n = 2(1 - n)
n ≥ 2 ⇒ -n ≤ -2 ⇒ 1 - n ≤ -1 ⇒ 2(1 - n) ≤ -2
⇒ fn(1) < 0
fn décroissante sur [0;1], fn(0) > 0 et fn(1) < 0 ⇒ il existe un unique α ∈ [0;1] / fn(α) = 0
2) ... à toi de jouer
