Si ax² + bx + c = 0 admet deux racines, alors le discriminant Δ est strictement positif et les racines sont
x1 = (-b + √Δ)/(2a) et x2 = (-b - √Δ)/(2a) avec Δ = b² - 4ac
d'où
S = x1 + x2 = (-b + √Δ)/(2a) + (-b - √Δ)/(2a)
S = (-b + √Δ -b - √Δ)/(2a)
S = (-2b)/(2a)
S = -b/a
P = x1 * x2
P = (-b + √Δ)/(2a) * (-b - √Δ)/(2a)
P = ((-b + √Δ) * (-b - √Δ))/(4a²)
on utilise l'identité remqarquable (a + b) (a - b) = a² - b²
d'où
P = ((-b)² - (√Δ)²)/(4a²)
P = (b² - Δ)/(4a²)
P = (b² - (b² - 4ac))/(4a²)
P = 4ac/(4a²)
On peut simplifier par a parce que a ≠ 0 (sinon l'équation ax²+bx+c=0 ne serait pas du second degré et ne pourrait pas avoir deux solutions)
P = c/a
